A Álgebra Linear na Graduação

Álgebra Linear é um segmento da Matemática que teve sua origem na discussão de Sistemas Lineares Algébricos e Diferenciais. Como tópicos principais abordados em graduação, citamos os espaços vetoriais (morada de vetores) e suas propriedades, as transformações lineares entre espaços vetoriais com destaque para os operadores (transformações lineares de um espaço nele mesmo), além dos autovalores e auto vetores bem como a diagonalização de operadores. Na sequência, escrevemos os resultados principais: O Espaço ℝⁿ, Combinação linear e independência linear entre vetores, bases, ortogonalidade no ℝⁿ, bases ortogonais e o algoritmo de GRAM-SCHMIDT, transformações lineares e suas propriedades, coordenadas e mudança de base, autovalores e auto vetores, diagonalização de operadores e equações diferenciais ordinárias lineares.

Quanto sua aplicação, além da forte contribuição para a solução exata de equações diferenciais ordinárias lineares e em processos aleatórios (Cadeias de Markov), temos também sua presença na Física, em Ótica e Mecânica Quântica, na Engenharia no estudo de vibrações e em Dinâmica de corpos rígidos ligados a problema de rotação e translação, fazendo-se também presente no problema de temperatura em estado estacionário em uma placa fina com faces isoladas. Para encerrar lembramos também a Criptografia, Computação gráfica e o modelo presa-predador como usuários da Álgebra Linear. Mais detalhes podem ser vistos em LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS; GILBERT STRANG; ACADEMIC PRESS. 1980 

Dialogo no ciberespaço : O que é uma Boa Aula em Matemática?

Roberto Capistrano

É comum ouvir dos alunos referirem-se a seus professores com base nas formas e características de seu trabalho em sala de aula, como "ele dá uma boa aula, "sua aula é cansativa" , entre outras...
"Boa aula" é um juízo de valor que se constrói com base em diferentes concepções de Educação, no interior de distintas situações histórico-sociais, e com base nos vários níveis e nas diferentes modalidades de ensino.
Aula pode ser compreendida como a unidade de medida do tempo, como espaço de atividade , como forma de trabalho em Educação?
Como deve entendida a AULA? E na Educação a distância(EaD) como caracterizar a "aula" ? ou uma "boa aula" ?
É possível analisar a situação de ensino-aprendizagem realizada entre professor e alunos, entendida como aula, com base em um conjunto multidimensional de relações.

Vejam alguns diálogos acerca de uma boa aula, no site de relacionamento "facebook", em que mediei e instiguei o assunto :

D1. aquela onde o professor apresenta suas duvidas a respeito da matéria, explica o contexto em que ela surgiu, e pede soluções para os alunos.

D2. Uma boa aula é aquela em que o professor instigue seus alunos a buscar o conhecimento, e não só os passe enquanto a turma copia, o professor precisa incentivar seus alunos a pensarem e construir conceitos , definições e provas em conjunto com a sala.

D3(Capistrano). Tendo em conta o teu pensamento como podemos caracterizar a "aula"?
Criatividade do professor, discurso afinado com o pensamento atual(idéias, fatos,significados) ? Ou,
A forma motivadora da "boa aula" é não transformá-la em algo divertido...mas sim, é transformá-la em algo significativo...levando o educando( aluno) a querer aprender a aprender...será que este é o nosso desafio na atualidade? Ou ,
Devemos levar em conta um pensamento freiriano de que : os alunos chegam à escola já com determinados conhecimentos...identificá-los e usá-los para melhorar o seu aprendizado e também a aula...podemos dizer que os alunos têm conhecimentos prévios( segundo David Ausubel - psicólogo cognitivista) ?
A aula é um espaço de construção e reconstrução do aprender...as vezes digo que é um espaço de desconstruir preconceitos, falácias e mitos...
Será que a "aula" é uma unidade de medida de tempo ou a "aula" é um espaço de atividades ou a "aula" é um critério de avaliação do desempenho docente...afinal o que seria uma "aula" ?

D4. Acho que se aprende matemática de "dentro pra fora". Quero dizer contemplar uma aula muitas vezes não é suficiente para o aprendizado. Às vezes você até entende algumas idéias mas só quando tenta aplicar que surgem as duvidas, que são fundamentais para o aprendizado: só errando você passa a valorizar e perceber detalhes anteriormente despercebidos.

D5(Capistrano). Neste ambiente, nasce um espaço para o fazer pedagógico em matemática, na medida em que passamos a discutir o que é uma "boa aula", assim, nos vem a idéia de que o professor tem de optar pela melhor maneira de ensinar determinado conteúdo, visualizando a realidade que o rodeia e as especificidades que lhes apresentam...Antes de tudo uma prática docente deve ser repleta de idéias, reflexões, leituras e discussões...Não adianta querer sempre ensinar, porém, mais que ensinar querer que aprendam e se interessem pelo que vão aprender, para que esse conhecimento seja significativo...No processo ensino e aprendizagem gera um vínculo entre quem ensina e o aprendiz...Por exemplo, se alguém me pára na rua e me pergunta onde fica determinado endereço, e eu sei explicar, já se criou uma relação entre ensinar e aprender...Vou ter que usar uma expressão verbal e corporal clara e direta, a fim de não confundir o aprendiz e fazê-lo interessar-se por esse processo, aprendendo o que deseja saber.Na relação ensino-aprendizagem, há dinâmica, interação, diálogo, e propicia-se a troca de conhecimentos nos âmbitos cognitivo, afetivo e motor entre todos os participantes desse processo...Na escola não é diferente, apresenta as mesmas características: gera vínculo, é interativa, é dialógica e propicia a troca...Porém, existe uma diferença marcante : não há apenas um aprendiz nesse processo, mas um grupo,no mínimo com características individuais, em que cada um aprende de diferentes maneiras e em tempos diferentes...Então, nossa prática docente passa pela formação, competências, habilidades e saberes...para que possamos construir uma "boa aula"...
Vamos lá... Seria possível na educação atual estarmos preparados para um ministrar uma "boa aula"?

D6. Ora,quando há interação, diálogo e saberes do professor não há como o professor ser impopular... Mesmo alguns alunos achando ele é ruim... Mas no final eles colherão os frutos da arvore do saber e irão dividi-los de forma a compartilhar conhecimentos... Lembrando que saberes não se come se compartilha...
O diálogo é a força propulsora de uma "boa aula", a interação é o combustível para que ela seja significativa e os saberes é mecânica para fazer este movimento...sem estes pilares não há uma "boa aula"...
Vamos continuar com este diálogo no ciberespaço... Visualizando o ensino de matemática nas proporções da construção dos saberes..

Utilize este ambiente para dialogarmos sobre o que é uma “BOA AULA EM MATEMÁTICA”

Aula 2 : Lógica Matemática - Cálculo Proposicional : Operações Lógicas sobre proposições,

Aula 2 : Lógica Matemática - Cálculo Proposicional : Operações Lógicas sobre proposições.

Dicas de Lógica Matemática

Lógica das Proposições ou Lógica Proposicional

A Lógica Formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. Além disso, a Lógica Formal tem aplicações diretas em diversas áreas do conhecimento.

Existem vários tipos de Lógica Formal, sendo duas especialmente importantes:
• Lógica Proposicional (Cálculo Proposicional)
• Lógica de Predicados (Lógica de Primeira Ordem)

A codificação em Lógica permite a remoção de ambiguidades inerentes às Linguagens Naturais( No nosso caso a linguagem natural é a língua portuguesa ou linguagem coloquial) .

A língua portuguesa, assim como outras línguas, é formada por palavras e sentenças, numa teia sutil e complexa. Expressar-se com clareza e precisão não é uma tarefa fácil.

Mapeamento : Linguagem Natural/ Lógica das Proposições.

Aula 1 : Lógica Matemática - Introdução aos Cálculos das Proposições

Aula 1 -  Lógica Matemática - Introdução aos Cálculos das Proposições

Matemática como uma construção Humana

A matemática está presente tanto nas situações comuns do cotidiano e do mundo do trabalho quanto nas mais complexas, que exigem conhecimento especializado, por ser um instrumento de produção e de comunicação de conhecimentos nas mais diferentes áreas, razão por que é tão importante na atualidade e considerada como uma peça-chave para a preparação profissional.

O mundo do século XXI é um mundo banhado em números. Manchetes usam medidas quantitativas para noticiar aumentos no preço da gasolina, riscos de morrer de câncer no cólon, e números de refugiados na mais recente guerra étnica. Anúncios usam números para competir no preço de contratos de telefones celulares e nos empréstimos de juros baixos para automóveis. Notícias de esportes abundam em estatísticas dos times e nas chances nas próximas competições.

Se você olhar com atenção verá que as notícias e as informações que atualmente recebemos pelos meios de comunicação estão cheias de idéias e símbolos matemáticos que precisamos ler e interpretar.

Ler, escrever e calcular são operações de raciocínio muito importantes para todos nós. Elas permitem que a aventura humana e as incertezas que a envolvem sejam compreendidas em sua complexidade, preparando-nos, quando praticadas conscientemente, para enfrentar problemas e buscar alternativas para superá-los.

Você já deve ter observado que a Matemática se utiliza de registros, códigos, símbolos. Enfim, que ela tem uma linguagem própria. Mas o que é importante é que essa linguagem é universal. Praticamente, é utilizada em todos os recantos do mundo, favorecendo a comunicação entre os povos.

Os números que conhecemos e costumamos usar, os cálculos escritos ou de cabeça que fazemos diariamente, as formas geométricas que podem ser observadas nos prédios, arvores , pontes ou embalagens, os gráficos, tabelas, entre muitas outras coisas, são parte da criação humana. Todas elas são partes da Matemática.

Faça observações no ambiente em que vive e registre as situações em que você reconhece a presença da Matemática : as primeiras pistas são dadas pela natureza.

A idéia é que o conhecimento matemático, assim como muitos outros, seja um instrumento utilizado para propor e melhorar as condições de vida da humanidade e contribuir para intervir na realidade, promovendo o desenvolvimento humano.

“Eu falo como eu vejo. Eu acho que no momento em que você traduz a naturalidade da matemática como uma condição de estar no mundo, você trabalha contra um certo elitismo com que os estudos matemáticos, mesmo contra a vontade de alguns matemáticos, tem. Quer dizer, você democratiza a possibilidade da naturalidade da matemática, e isso é cidadania”.(Paulo Freire)

Origens da Matemática

A palavra "Matemática" tem origem na palavra grega "máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí "mathematikós", que significa o prazer de aprender.

É comum definir a Matemática como o estudo de tópicos como quantidades, formas, espaço e mudança, através do método dedutivo, no qual se pressupõe um conjunto de axiomas e regras de inferência como forma de obter propriedades das entidades em estudo.

Sendo uma linguagem universal, a Matemática oferece-nos um conjunto singular de ferramentas poderosas para compreender e mudar o mundo. Estas ferramentas incluem o raciocínio lógico, técnicas de resolução de problemas, e a capacidade de pensar em termos abstratos.

Podemos assim dizer que a Matemática é uma construção abstratas em que as suas noções fundamentais têm origem na percepção humana. Desde a noção de número às noções geométricas, estabeleceu-se desde muito cedo a independência da noção abstrata face à sua utilização prática. As idéias matemáticas passaram a ter uma existência própria e a universalidade da sua manipulação formal mostrou rapidamente vantagens.

Uma particularidade da Matemática reside na possibilidade de tratar as próprias noções como objeto de estudo, conferindo-lhe um caráter ainda mais abstrato. A tentativa de obter os vários resultados matemáticos numa dedução lógica, partindo de um reduzido número de idéias fundamentais, originou a estrutura axiomática que a caracteriza. A primeira iniciativa desta natureza foi concretizada pelos gregos, por exemplo, no tratado "Elementos", de Euclides, onde se propõe a axiomatização da geometria (séc. III AC).

Nas sociedades antigas, a Matemática surgiu associada a atividades práticas como a contabilidade, a medição de terrenos ou a previsão de eventos astronômicos. Ao longo da História, diferentes culturas e personalidades contribuíram para o desenvolvimento da Matemática e das suas aplicações. Após o Renascimento, a Matemática tornou-se a linguagem de referência de qualquer Ciência.

Hoje, o conhecimento assim adquirido transcende as barreiras culturais e a sua importância em muitas profissões e aditividades é universalmente aceite. Em áreas como a Ciência e a Tecnologia, a Medicina, a Economia, o Ambiente e o Desenvolvimento, e a Administração Pública, o progresso e a inovação dependem frequentemente de novas descobertas matemáticas.

A Comunidade Matemática, formada por Professores e Investigadores é hoje maior que em qualquer outro momento da História e o seu impacto na Sociedade é cada vez maior, através de aditividades Científicas organizadas à escala mundial, de inúmeras publicações em revistas especializadas, e de atividades de divulgação. Testemunho disto são os importantes prêmios atribuídos à investigação matemática, como as medalhas Fields, ou os problemas do milênio.

Palavras chaves no ensino de Matemática

Axiomas

Princípio ou regras que não são demonstradas e que disciplinam a utilização dos conceitos primitivos e estabelecem suas propriedades.

Conceito primitivo

Conceito que não é definido, como pro exemplo o de número e o de ponto.

Corolário

Proposiçõa que é uma consequência de um teorema.

Corpo

Um conjunto numérico é um corpo, com relação a duas oérações "+" e " . ", quando : + é comutativa, associativa, tem elemento neutor 0 e todo leemento neutro x do conjunto tem o seu oposto ( - x ), no conjunto tal que x + ( - x ) = 0 ; " . " é comutativa, associativa, tem elemento neutro 1 e todo elemento x , não nulo, no conjunto tem o seu inverso ( x -¹ ), tal que x.x -¹ = 1, e ". " é distribuitiva em relação a " + ".

Os conjuntos dos Racionais, dos Reais e dos Complexos são corpos com relação à adição e à multiplicação.

Demonstração

Sucessão de argumentos restritos às regras da lógica mostrando que determinada afirmação é necessáriamente verdadeira quando se assimem certos elementos primitivos e certos axiomas.

Lema

Proposição auxiliar na demostração de um teorema, que também precisa ser demonstrada.

Operação

Uma operação * num conjunto A é uma relação de um subconjunto do produto cartesiano AxA em A, tal que, a cada par ordenado deste subconjunto (x,y) associa um único elemento de A, x*y.

Uma operação é fechada se para todos os possíveis pares (x,y) de AxA sempre existe um corresponde x*y também em A.

Por exemplo, a adição é uma operação fechada no conjunto dos naturais pois a cada par de números (x,y) associa um único correspondente (x+y) que também é natural.
A subtração não é fechada no naturais porque só existe correspondente, também natural, para os pares ordenados (x,y) com a propriedade x > y.

Postulado

Princípios ou regras que não são demonstrados e que disciplinam a utilização dos conceitos primitivos e estabelecem suas propriedades.

Teorema
Proposições matemáticas que são demonstradas, com base nos conceitos primitivos, nos axiomas, nas definições e em outros teoremas já demonstrados.

Dialógos no ciberespaço : O que é uma boa aula de Matemática ?

O que é uma Boa Aula em Matemática?
Roberto Capistrano

É comum ouvir dos alunos referirem-se a seus professores com base nas formas e características de seu trabalho em sala de aula, como "ele dá uma boa aula, "sua aula é cansativa" , entre outras...
"Boa aula" é um juízo de valor que se constrói com base em diferentes concepções de Educação, no interior de distintas situações histórico-sociais, e com base nos vários níveis e nas diferentes modalidades de ensino.
Aula pode ser compreendida como a unidade de medida do tempo, como espaço de atividade , como forma de trabalho em Educação?
Como deve entendida a AULA? E na Educação a distância(EaD) como caracterizar a "aula" ? ou uma "boa aula" ?
É possível analisar a situação de ensino-aprendizagem realizada entre professor e alunos, entendida como aula, com base em um conjunto multidimensional de relações.

Vejam alguns diálogos acerca de uma boa aula, no site de relacionamento orkut, em que mediei e instiguei o assunto :

D1. aquela onde o professor apresenta suas duvidas a respeito da matéria, explica o contexto em que ela surgiu, e pede soluções para os alunos.

D2. Uma boa aula é aquela em que o professor instigue seus alunos a buscar o conhecimento, e não só os passe enquanto a turma copie, o professor precisa incentivar seus alunos a pensarem e construir conceitos , definições e provas em conjunto com a sala.

D3(Capistrano). Tendo em conta o teu pensamento como podemos caracterizar a "aula"?
Criatividade do professor, discurso afinado com o pensamento atual(idéias, fatos,significados) ? Ou,
A forma motivadora da "boa aula" é não transformá-la em algo divertido...mas sim, é transformá-la em algo significativo...levando o educando( aluno) a querer aprender a aprender...será que este é o nosso desafio na atualidade? Ou ,
Devemos levar em conta um pensamento freiriano de que : os alunos chegam à escola já com determinados conhecimentos...identificá-los e usá-los para melhorar o seu aprendizado e também a aula...podemos dizer que os alunos têm conhecimentos prévios( segundo David Ausubel - psicólogo cognitivista) ?
A aula é um espaço de construção e reconstrução do aprender...as vezes digo que é um espaço de desconstruir preconceitos, falácias e mitos...
Será que a "aula" é uma unidade de medida de tempo ou a "aula" é um espaço de atividades ou a "aula" é um critério de avaliação do desempenho docente...afinal o que seria uma "aula" ?

D4. Acho que se aprende matemática de "dentro pra fora". Quero dizer contemplar uma aula muitas vezes não é suficiente para o aprendizado. Às vezes você até entende algumas idéias mas só quando tenta aplicar que surgem as duvidas, que são fundamentais para o aprendizado: só errando você passa a valorizar e perceber detalhes anteriormente despercebidos.

D5(Capistrano). Neste ambiente, nasce um espaço para o fazer pedagógico em matemática, na medida em que passamos a discutir o que é uma "boa aula", assim, nos vem a idéia de que o professor tem de optar pela melhor maneira de ensinar determinado conteúdo, visualizando a realidade que o rodeia e as especificidades que lhes apresentam...Antes de tudo uma prática docente deve ser repleta de idéias, reflexões, leituras e discussões...Não adianta querer sempre ensinar, porém, mais que ensinar querer que aprendam e se interessem pelo que vão aprender, para que esse conhecimento seja significativo...No processo ensino e aprendizagem gera um vínculo entre quem ensina e o aprendiz...Por exemplo, se alguém me pára na rua e me pergunta onde fica determinado endereço, e eu sei explicar, já se criou uma relação entre ensinar e aprender...Vou ter que usar uma expressão verbal e corporal clara e direta, a fim de não confundir o aprendiz e fazê-lo interessar-se por esse processo, aprendendo o que deseja saber.Na relação ensino-aprendizagem, há dinâmica, interação, diálogo, e propicia-se a troca de conhecimentos nos âmbitos cognitivo, afetivo e motor entre todos os participantes desse processo...Na escola não é diferente, apresenta as mesmas características: gera vínculo, é interativa, é dialógica e propicia a troca...Porém, existe uma diferença marcante : não há apenas um aprendiz nesse processo, mas um grupo,no mínimo com características individuais, em que cada um aprende de diferentes maneiras e em tempos diferentes...Então, nossa prática docente passa pela formação, competências, habilidades e saberes...para que possamos construir uma "boa aula"...
Vamos lá... Seria possível na educação atual estarmos preparados para um ministrar uma "boa aula"?

D6. Ora,quando há interação, diálogo e saberes do professor não há como o professor ser impopular... Mesmo alguns alunos achando ele é ruim... Mas no final eles colherão os frutos da arvore do saber e irão dividi-los de forma a compartilhar conhecimentos... Lembrando que saberes não se come se compartilha...
O diálogo é a força propulsora de uma "boa aula", a interação é o combustível para que ela seja significativa e os saberes é mecânica para fazer este movimento...sem estes pilares não há uma "boa aula"...
Vamos continuar com este diálogo no ciberespaço... Visualizando o ensino de matemática nas proporções da construção dos saberes..

Utilize este ambiente para dialogarmos sobre o que é uma “BOA AULA EM MATEMÁTICA”

Matemática e poesia : uma visão construtivista

Geometria dos Corpos

A menor distância

entre dois pontos

está na conjunção

de nossos corpos

que se atraem na razão inversa

da razão e do verso...

O verso e a razão

o inverso do reverso

o ponto no coração

o ponto nas tuas mãos

é o ponto na conjunção

é o corpo e a paixão.

(Roberto Capistrano)

Referência :
CAPISTRANO, Roberto de Almeida et all. Antologia dos Poetas Vrtuais 1° Livro.Org. Magali Oliveira. Fortaleza : Premius, 2007.

Mapas conceituais : um estratégia para um ensino de matemática numa visão da aprendizagem significativa

Os mapas conceituais: uma técnica para a aprendizagem significativa
Roberto de Almeida Capistrano

É habitual os alunos trazerem para a sala de aula concepções diferentes, pois diferentes são as suas vivências cotidianas. Os professores vêem-se, assim, confrontados com turmas cada vez mais heterogêneas do ponto de vista cultural, econômico e social. Na maior parte das vezes, não são os assuntos que estimulam o interesse do aluno, que o motivam; ele é determinado pelas estratégias que o professor utiliza para ir ao encontro do diferente modo de aprender dos alunos, respeitando os seus ritmos de aprendizagem e as necessidades individuais. Conseqüentemente, advoga-se que o professor pratique uma pedagogia diferenciada, visando a uma aprendizagem significativa.
O uso de estratégias diversificadas poderá facilitar a compreensão do conhecimento científico, quer ilustrando a forma como este é construído, quer realçando o seu caráter evolutivo.
O psicólogo educacional Ausubel atribui importância às concepções construídas pelos alunos, antes do ensino formal, e a reflete na conhecida afirmação “o fator mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o aluno já sabe, identifique e ensine em conformidade”.
Nesse contexto, a aprendizagem das ciências não se resume a escrever produtos do conhecimento num cérebro em branco; pelo contrário, é um processo em que o que já se sabe é tão ou mais importante do que aquilo que é descoberto ou ‘transmitido’ de novo, traduzindo-se numa construção cognitiva ativa. Com base nas concepções da sua vivência cotidiana, o aluno participa da reconstrução do próprio saber através de desestruturações, desequilíbrios e reestruturações sucessivas do seu conhecimento.
Fundamentando-se nos pressupostos teóricos defendidos por Ausubel, bem como na aplicação dessa teoria, Novak (1976) concebeu os mapas conceituais delineando-os e publicando‑os em vários artigos ao longo de mais de duas décadas e, ainda, na sua obra Learning how to Learn (1984, 1996) e no livro Teaching Science for Understanding (Mintzes, Wandersee e Novak, 1997). Aquele autor refere que os conceitos, representados por 'substantivos', devem ser dispostos segundo uma colocação hierárquica, em que os mais gerais e inclusivos ficam no topo e, por baixo destes, os que são cada vez mais específicos. As relações entre dois conceitos, representadas por setas, são explicitadas por um número mínimo de palavras de ligação, designadas por 'proposições'; sempre que possível, devem estabelecer‑se ligações laterais entre conceitos com os mesmos graus de generalidade e pertencentes a níveis hierárquicos diferentes. A estruturação é evidenciada pelas relações e pela diferenciação progressiva dos conceitos de ordem superior aos menos gerais e exemplos específicos.
Os mapas funcionam como uma ponte entre o que o aluno já sabe e a aprendizagem que está a realizar. Podem ser ampliados, o que não dificulta a leitura, quando isso é feito de modo apropriado. Com o aspecto de um diagrama esquemático, representam o modo como o aluno trabalhou e incorporou no seu esquema mental os novos conceitos que aparecem destacados, bem como as relações significativas entre eles. Estas e os níveis onde se encontram são interpretados como indicadores da reconciliação integrativa de significados, ou seja, da explicitação das semelhanças, diferenças e relações entre conceitos. Atendendo ao pressuposto de que na estrutura cognitiva esses conceitos não existem isolados, mas se encontram relacionados, o mapa respectivo possibilita a reflexão sobre o número, as relações e a organização dos conceitos e permite avaliar a adequação da estruturação de uma determinada área do conhecimento.
Os mapas conceituais ou mapas de conceitos são representações hierárquicas das relações entre conceitos relativos para uma área de domínio particular.Podem ser usados, entre outras coisas, para explorar os conhecimentos prévios dos aprendentes, contrastar os conhecimentos em dois momentos distintos do processo de aprendizagem, representar uma rota ou trajetória de ensino-aprendizagem ou extrair significados de um trabalho de campo ou material escrito.
Semelhante a um fluxograma, um mapa conceitual é também uma forma de representação ou organização do conhecimento. Contudo, um mapa conceitual vai além do esquema convencional. Mostrando as relações entre os conceitos, incluindo relações bidireccionais, um mapa conceitual é constituído por nós (normalmente círculos onde se inscrevem os conceitos) e ligações (linhas) que representam as relações entre os conceitos, através de proposições. Um bom mapa conceitual expõe os conceitos e as proposições fundamentais numa linguagem explícita e concisa.
Uma vez concluído, um mapa conceitual é uma representação visual gráfica de como o seu autor pensa acerca de qualquer assunto ou tópico. Ou seja, representa, de forma bidimensional uma certa estrutura cognitiva, mostrando hierarquias e conexões entre os conceitos envolvidos.

O limite e o Cálculo Diferencial e Integral

O Cálculo Diferencial e Integral está fundamentado em um conjunto de operações, envolvendo quatro operadores: limite, diferencial, derivada e integral. A análise teórica desses tópicos nos livros-texto de Cálculo Diferencial e Integral é exaustivamente desenvolvida, principalmente do ponto de vista do rigor matemático.
Talvez devido a esse rigor matemático, associado à abstração conceitual que o assunto exige e à falta de preparo da maioria dos alunos em absorver conceitos e idéias abstratas, parece que esses itens são apresentados sem nenhuma conexão entre eles, como se a ligação fosse puramente matemática.
Na realidade, existe, além da relação matemática, uma ligação física muito forte entre esses operadores, a qual pode ajudar o aluno a compreender melhor o significado e a aplicação dessas importantes ferramentas matemáticas, proporcionando, assim, uma forma de ver e de analisar o mundo físico.
A maioria dos fenômenos das áreas de ciências e tecnologias e intervenções de situações reais de nosso cotidiano, que são de natureza essencialmente quantitativa, são modelados ou têm respostas através das funções. Para o estudo das funções e seus elementos associados, é necessária a presença da diferencial, das derivadas e da integral, que se desenvolvem a partir do conceito de limite.
O limite de funções em uma situação “apropriada” gera conceitos de diferencial e de derivada. Estes, por sua vez, levam-nos ao conceito de integral, fornecendo assim um referencial lógico e sistemático, cujas relações quantitativas (funções) podem ser estudadas.
Encerrando, salientamos que os conceitos matemáticos aqui citados estão na verdadeira “Matemática Moderna”, que vem se desenvolvendo nos últimos quatros séculos. Assim, deixar de lado uma apresentação desses conceitos é grave, porque equivale a negligenciar um componente significativo e de maior relevância para a formação do aluno no contexto da Matemática.
Essa seção apresenta a utilização de mapas conceituais como uma aplicação prática da teoria de aprendizagem significativa de Ausubel (1968), constituindo uma estratégia segundo uma perspectiva construtivista, que se identifica com os pressupostos que defendemos.
Para melhor compreensão, podemos resumir o ensino do limite e do Cálculo Diferencial no seguinte mapa conceitual:

Referências
ANDRADE,Lenimar Nunes. Introdução à Computação Algébrica com Maple. João Pessoa : UFPB/CEN/DM, 2003.
AUSUBEL, David. P., NOVAK, Joseph D. & HANESIAN, H. Psicologia educacional. Trad. Eva Nick. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. p. 625.
BITTAR, Marilena. Idéias para análise de Software Educativo. Departamento de Matemática e Mestrado em Educação; Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, 2001.
BRENNAND, E .G. de G. Ciberespaço e educação: navegando na construção da inteligência coletiva. Revista Informação & Sociedade, v.11 n.1. João Pessoa: Universitária, 2001.
CAPISTRANO, Roberto de Almeida. Aprendizagem significativa e softwares educativos: uma análise do Maple. Dissertação de Mestrado. João Pessoa: UFPB/CE, 2004.
LEITHOLD, L. - O Cálculo com Geometria Analítica - vol 1 e 2, Harbra Editora Harper & Kow do Brasil Ltda., 1977.
MORAES, Daniela C. Maple e Mathematica no Processo de Ensino e Aprendizagem. In: Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, 20. Santa Catarina: UFSC, 1999.
MOREIRA, M. A e MASINI, E. F. S. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982
PEREIRA, Maria de Lourdes. Métodos e técnicas para o ensino de Ciências. João Pessoa: Editora Universitária, 1998.
POZO, Juan Ignacio. Teorias Cognitivas da Aprendizagem. Trad. Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.
PUGALEE, D. K. e ROBINSON, R. A study of the impact of teacher training in using internet resources for mathematics and science instruction. Journal of Research on Computing in Education 31, 1, 1998, p.78-88.

EXPLORANDO TÓPICOS DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DO GEOGEBRA: O ENSINO DE FUNÇÕES E GEOMETRIA.

Roteiro para criação de OA no Geogebra


1. Equação de 2o. Grau.

a) Primeiro construíremos o gráfico da função quadrática f(x) = ax²+bx+c e mostraremos os zeros da função, as quais poderão serem reais ou complexas. O coeficientes podem ser modificados dinamicamente através do seletor(controles deslizantes- arrastados pelo mouse).

b) Vamos visualizar esta seqüência :

•Na janela de entrada de comando, vamos definir os coeficientes como : a = 1, b =1 e c = 3. Na janela de álgebra clicamos em cada um deles e difinimos a opção “ mostrar objeto”.
•No campo de entrada digitamos a função : f(x) = a*x^2 +b*x+c.

Agora vamos reposicionar os eixos.
•Vamos definir o valor de Delta da seguinte forma : delta = b^2- 4*a*c.
•Agora vamos definir os pontos P1 e P2 que correspondem às raízes complexas.
–P1=(-b/(2*a),sqrt(-delta)/(2*a))
–P2=(-b/(2*a),-sqrt(-delta)/(2*a))

•Clique em cima de cada ponto, e vai em propriedades e escreva, na aba “Avançado”, e escreva delta < 0, isto significa que P1 e P2 só irão ser mostrados quando delta < 0.

Agora vamos definir P3 e P4 que correspondem às raízes reais :

-P3=((-b - sqrt(delta)) / (2 a), 0)

-P4=((-b + sqrt(delta)) / (2 a), 0)

Veja a imagem :

Explorando tópicos da Matemática com Geogebra : O ensino de Funções e Geometria

Explorando Tópicos da Matemática Através do GeoGebra: O Ensino de Funções e Geometria.
Roberto de Almeida Capistrano

Resumo

O método clássico de ensino de Geometria e da álgebra enfatiza demasiadamente o conteúdo teórico, deixando muitas vezes o meio prático, que é a ferramenta mais poderosa para a completa aprendizagem e assimilação dos conceitos ministrados em sala de aula. O Geogebra é uma ferramenta excelente para o estudo da Geometria dinâmica e da álgebra. O GeoGebra que é um software de matemática desenvolvido por Markus Horenwarter da Universidade de Salzburg. Ele reúne num só programa geometria, álgebra e cálculo. É um sistema dinâmico de geometria onde se pode fazer construções de pontos, vetores, segmentos, retas, circunferências, transportar distâncias, tirar paralelas e perpendiculares e construir gráficos. As construções geométricas virtuais produzidas com o GeoGebra não ficam estáticas: elas se mexem sob o nosso comando. Os pontos geométricos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse sem destruir as relações matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos. Ele possui dois ambientes: uma janela de geometria e outra de álgebra. Uma expressão na janela de álgebra corresponde a um objeto na janela de geometria e vice-versa.. O propósito deste mini-curso é apresentar uma opção para melhorar e aumentar os recursos que o professor dispõe para ensinar matemática tanto no ensino médio quanto no ensino superior. Desta forma a utilização do software promove uma maior interação entre a informática e o ensino da matemática.O mini-curso é estruturado sob a forma de oficina em laboratório de informática, no qual os professores desenvolvem as atividades propostas individualmente ou em grupo. Durante a oficina serão discutidas mudanças didáticas ocorridas com a introdução do uso do computador e, em especial o software GeoGebra, no processo e ensino/aprendizagem. Aulas de Geometria e Álgebra mais dinâmicas e produtivas, fazendo com que os objetivos educacionais sejam amplamente atingidos.

PALAVRAS CHAVE: Geogebra. Construções geométricas.

1.0 INTRODUÇÃO

Neste curso, pretendemos discutir questões concernentes ao uso do software de Geometria dinâmica- Geogebra dentro de contextos educacionais, pois, numa sociedade imersa em tecnologia como a nossa, devemos estar atento e visualizar possibilidades de usá-la no contexto educacional. Mas sim, que assuma um novo paradigma educacional, até porque os produtos dessa nova geração midiática estão fortemente presentes na vida dos alunos e professores, influenciando inevitavelmente a dinâmica nos ambientes escolares (MISKULIN et al., 2006).

Desse modo, este mini-curso tem como objetivos: convidar os professores e alunos para a reflexão sobre o uso de softwares que podem ser utilizados em situações de ensino e de aprendizagem da Matemática.
Sendo assim, o início do mini-curso será utilizado para familiarizar os participantes com o software previamente escolhidos. Eles poderão seguir, de modo flexível, porém direcionador, um roteiro de descoberta das potencialidades e limitações do programa selecionado. Depois de familiarizados, breves apresentações do software serão feitas, para que em seguida, possamos iniciar uma discussão sobre o uso das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) na escola, com mais ênfase nas condições para este uso. Um outro ponto que deveremos discutir está relacionado ao software Geogebra, uma vez que este é um tema precedente ao uso do mesmo.

2.0 APRENDIZAGEM MATEMÁTICA COM NOVAS TECNOLOGIAS.

A estratégia de utilizar Novas Tecnologias no ensino pode ser efetiva por ter respaldo na motivação dos aprendizes em lidar com novas situações para a construção de seu conhecimento. Mas manipular entes matemáticos abstratos em uma representação à sua frente não deve ter a intenção de “poupar” o desenvolvimento teórico para o aprendizado.Ao contrário, a intenção presente deve ser gerar situações que demandem revisitar a teoria (ou criar motivação para novos desenvolvimentos teóricos) nas quais o aprendiz possa ser verdadeiramente confrontado com dificuldades intrínsecas da matéria.
Nesse contexto, devemos superar desafios na utilização de Novas Tecnologias ensino de matemática visto que a questão mais desafiadora não é o que o uso da máquina pode acrescentar nos modelos atuais de ensino, mas que novos modelos de ensino podem ser inaugurados pelo uso da máquina (Giraldo, 2004, p. 1).

3.0 ORGANIZAÇÃO DO MINI-CURSO

O mini-curso “Explorando Tópicos da Matemática através do Gegogebra” está organizado da seguinte forma:

a) Apresentação : Será constituída de uma apresentação nossa, como proponentes, seguida de uma breve explicação da dinâmica desta atividade.

b) Apresentação do Software e Familiarização com o Software :Inicialmente, dividiremos os participantes em grupos respeitando a quantidade de computadores. Em seguida, os grupos deverão buscar a familiarização com o software, utilizando como auxílio um guia (ou roteiro) de atividades, produzidos e disponibilizados por nós.

c) Discussão de Temas :Na parte final, alguns temas serão levantados e discutidos entre os participantes do mini-curso. Os temas (inicialmente) serão os seguintes: “Experiências com Softwares na Escola” e “Condições para o Uso do Software Geogegbra em sala de aula ”.

4.0 POR QUE USAR O GEOGEBRA?

Infelizmente, na nossa cultura tecnológica, a utilização de softwares não licenciados para o uso é muito comum, ou como vulgarmente é conhecido, “software pirata”. Porém, esta prática não é legal do ponto de vista da legislação sobre os direitos autorais, da propriedade intelectual de programas de computador e de sua comercialização (Leis Nº. 9.609 e 9.610, de 19 de fevereiro de 1998, ambas). Por outro lado, muitos dos softwares que podem ser utilizados didaticamente, possuem um custo que nem todas as escolas podem pagar, mesmo com os descontos oferecidos. Sem mencionar o baixo poder aquisitivo dos professores, tanto da rede públicas, quanto da rede particular de ensino.
Considerando estes argumentos, e movidos por uma política de utilização livres de softwares, como prega Richard Stallman (1985), em seu Manifesto, e também pela Free Softwares Foundation[1] (2000), optamos por utilizar software que tivessem seu uso e distribuição de forma gratuita, neste caso entre muitos de geometria dinâmica optamos pelo Geogebra.
O GeoGebra também é um software livre, e foi idealizado e desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Universidade de Salzburg, na Áustria. Além das ferramentas de geometria dinâmica, o software oferece ainda um suporte à entrada de equações e coordenadas, associando o primeiro ao segundo, e vice-versa. Portanto, o GeoGebra é a união de um sistema de geometria dinâmico (Dynamic Geometry System – DGS) e de um sistema de computação algébrica (Computer Algebric System – CAS). Para sua utilização, não é preciso instalar, basta acessar a página http://www.geogebra.org e clicar em “Iniciar GeoGebra”. Porém, se optar em usar sem estar conectado a Internet, modo off-line, pode ser feita a instalação do software no computador. Em ambos os casos, é preciso fazer a instalação do Java[2]
De um modo geral, um software de geometria dinâmica permite movimentos interativos que possibilitam ao professor fazer coisas que seria muito difícil apenas com quadro e giz.
O GeoGebra é um ambiente que permite simular construções geométricas no computador. Diferentemente do que ocorre com a régua e o compasso tradicionais, as construções feitas com este tipo de software são dinâmicas e interativas, o que faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem da geometria. Esses softwares possuem um recurso que possibilita a transformação contínua, em tempo real, ocasionado pelo “arrastar”.
Faremos, neste curso, alguns exercícios com o GeoGebra servindo de iniciação. Espera-se que, os cursistas ganhem à habilidade de decidir criticamente quando e como usá-lo em seus estudos individuais e, principalmente, quando e como usá-lo com seus alunos na sala de aula.
[1] Acesse a Free Softwares Foundation pela página www.fsf.org.
[2] Pode ser obtido gratuitamente em http://www.java.com/pt_BR/.

5.0 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Experiências desse tipo têm mostrado que a informática, em especial a utilização de softwares educativos, tem um papel extremamente importante no processo ensino aprendizagem, pois pode auxiliar bastante os estudantes na interpretação e compreensão dos conceitos por meio de uma transposição informática.
O uso de um software interativo como o GeoGebra, para o estudo de geometria, com base no conceito de Geometria Dinâmica, é certamente motivador e eficiente. Um ponto de partida interessante é o estudo de curvas planas, com ênfase no seu traçado, nas demonstrações de suas propriedades geométricas e na obtenção de suas equações.

6.0 REFERÊNCIAS

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
CAPISTRANO, Roberto de Almeida. Aprendizagem significativa e softwares educativos: uma análise do Maple. João Pessoa : UFPB, 2004(Dissertação de Mestrado)
GIRALDO, V. & Carvalho, L.M. (2004). Breve bibliografia comentada sobre o uso de tecnologias computacionais no ensino de matemática avançada. In: Anais do VII Encontro Nacional de Educação Matemática, pp. 1 – 17. Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2004
FREE SOFTWARES FOUNDATION. O que é o Software Livre? Copyright (C) 2000. Disponível em <http://www.gnu.org/gnu/free-sw.pt.html>. Acessado em: 13 set 2008.
MISKULIN, R. G. S.; PEREZ, G.; SILVA, M. R. C.; MONTREZOR, C. L.; SANTOS, C. R.; TOON, E.; LIBONI FILHO, P. A.; SANTANA, P. H. O. Identificação e Analise das Dimensões que Permeiam a Utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação nas Aulas de Matemática no Contexto da Formação de Professores. BOLEMA – Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, v. 19, n. 20, p. 103-123, 2006.
LEI Nº. 9.609, DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998. Dispõe sobre a proteção da propriedade intelectual de programa de computador, sua comercialização no País, e dá outras providências.
LEI Nº. 9.610, DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998. Altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá outras providências.

Oração para um professor...

Ensinar é pensar no aprender...
Aprender é aprender a viver...
Viver é pensar em construir
Construir é solidificar o aprendido...
Mestre tu ensinas a construir
Motivas o aprender...
Modelas pensamentos...
Orientas construções
Fornece novos caminhos
Oferece novas opções...
És mestre...
És construtor...
Junto ao teu aprendente é gestor do conhecimento,
Motiva o discernimento...
Traz para ti os intrumentos do aprender...
Dividi o teu aprender
Motivas o ensinar...
Aprendes...
Ensinas...
És educador...
És educando...
És ensinante...
És aprendente...
Este dia é teu...constroi o futuro deste país...
Ensinas porque gostas de aprender...
Mestre és um construtor...
(roberto capistrano)

Aprender a ler problemas em matemática.

Aprender a ler problemas em matemática.

É freqüente os professores acreditarem que as dificuldades apresentadas por seus alunos em ler e interpretar um problema ou exercício de matemática, estejam associadas a pouca competência que eles têm para leitura. Também é comum a concepção de que se o aluno tivesse mais fluência na leitura nas aulas de língua materna, conseqüentemente ele seria um melhor leitor nas aulas de matemática.

Embora tais afirmações estejam em parte corretas, pois ler é um dos principais caminhos para ampliarmos nossa aprendizagem em qualquer área do conhecimento, consideramos que não basta atribuir as dificuldades dos alunos em ler problemas à sua pouca habilidade em ler nas aulas de português. A dificuldade que os alunos encontram em ler e compreender textos de problemas estão, entre outras coisas, ligadas a ausência de um trabalho pedagógico específico com o texto do problema, nas aulas de matemática.

O estilo nos quais geralmente os problemas de matemática são escritos, a falta de compreensão de um conceito envolvido no problema, o uso de termos específicos da matemática e que, portanto, não fazem parte do cotidiano do aluno, e mesmo palavras que têm significados diferentes na matemática e fora dela - total, diferença, ímpar, média, volume, produto - podem se constituir em obstáculos para que a compreensão ocorra.

Para que tais dificuldades sejam superadas e até, para que não surjam dificuldades é preciso alguns cuidados com a proposição dos problemas desde o início da escolarização até o final do Ensino Médio. Cuidados com a leitura que o professor faz do problema, cuidados em propor tarefas específicas de interpretação do texto de problemas, ter enfim um conjunto de intervenções didáticas destinadas exclusivamente a levar os alunos a lerem problemas de matemática com autonomia e compreensão.

Para os alunos do ensino fundamental e médio que já lêem com mais fluência textos diversos, o professor pode propor outras atividades envolvendo textos de problemas. A primeira delas, sem dúvida, é deixar que eles façam sozinhos a leitura das situações propostas. A leitura individual ou em dupla auxilia os alunos a buscarem um sentido para o texto. Nessa leitura o professor pode indicar que cada leitor tente descobrir sobre o que o problema fala, qual é a pergunta, se há palavras desconhecidas, quais as palavras, quais os seus significados e com isto preparar um dicionário de palavras usuais em Matemática ou uma mapa conceitual de forma a visualizar o texto como um diagrama de dados.

Quando os alunos ainda não são leitores, o professor lê todo o problema para eles e, como leitor auxilia os alunos lendo o problema, garantindo que todos compreendam, cuidando para não enfatizar palavras chave e usar qualquer recurso que os impeça de buscar a solução por si mesmos. Mas há outros recursos dos quais o professor pode se valer para explorar alfabetização e matemática enquanto trabalha com problemas.Um deles é escrever uma cópia do problema no quadro e fazer com os alunos uma leitura cuidadosa. Primeiro do problema todo, para que eles tenham idéia geral da situação, depois mais vagarosamente, para que percebam as palavras do texto, sua grafia e seu significado. Desta forma há possibilidade de aprender a ler problemas em Matemática interprentado-os e resolvendo-os.

Por que os alunos não retêm o conteúdo?

Por que os alunos não retêm o conteúdo?


A aprendizagem se dá de forma interativa, onde exista o dialogo constante do que se ensina e o que se aprende, segundo Paulo Freire “o ensinar exige bom senso. Ensinar exige humildade. Ensinar exige apreensão da realidade” .

Paulo Freire diz: “A nossa capacidade de aprender, de que decorre a de ensinar, sugere ou, mais do que isso, implica a nossa habilidade de apreender a substantividade do objeto aprendido. A memorização mecânica do perfil do objeto não é aprendizado verdadeiro do objeto ou do conteúdo. Neste caso o aprendiz funciona muito mais como "paciente" da transferência do objeto ou do conteúdo do que do sujeito critico, epistemologicamente curioso, que constrói o conhecimento do objeto ou participa de sua construção" (Pedagogia da Autonomia, p.69).

Ainda,... "aprender" é uma aventura criadora, algo, por isso, muito mais rico do que meramente repetir a "lição dada". Aprender para nós é construir, reconstruir, constatar para mudar, o que não se faz sem abertura ao risco e à aventura do espírito. Toda a prática educativa demanda a existência de sujeitos , um que ensinando, aprende, outro que, aprendendo, ensina, daí o seu cunho gnosiológico; a existência de objetos, conteúdos a serem ensinados e aprendidos; envolve o uso de métodos, de técnicas, de materiais; implica em função de seu caráter diretivo, objetivos, sonhos, utopias, ideais.

Pois na sala de aula, o que ocorre na maioria das escolas no Brasil, os ensinamentos matemáticos estão distanciados dos problemas do cotidiano e da realidade de cada aprendente, ora sabe-se que para muitos problemas do cotidiano, o aprendente apresenta um conhecimento específico que viabiliza a superação do problema colocado e, quando o conhecimento aí utilizado é transposto para a esfera escolar, o aluno passa a ter dificuldade na sua apropriação.

Se nós professores, identificarmos o que os alunos já sabem, aí facilitaria o nosso ensinar tendo em vista o aprender...lembrando sempre o ensinar não está dissociado do aprender...estão intimamente ligados...não existe ensino sem aprendizagem...A solução dos problemas de ensino estará na diminuição da distância entre o conhecimento prévio do aluno e os conhecimentos que o permeiam os conteúdos escolares.

Assim, caso possamos juntar as premissas básicas do ensino de matemática (conceituação, manipulação e aplicação), os conhecimentos prévios dos alunos e a apresentação de materiais significativos no ato da aula, aí, podemos ter uma aprendizagem significativa, pois o caráter da retenção do conteúdo se dá através de uma ação motivadora das técnicas de ensinar-aprender-ensinar e da interação dialógica do professor/aluno/professor.

Se há o isolamento Professor/ aluno então não há aprendizagem só ensino, isto é, o professor passa apenas a "DAR AULAS"...pois há um monologo...apenas o falante(PROFESSOR) e o ouvinte(ALUNO)...

“ Aprender é aventura infinita pelo infinito, errando e acertando, indo e voltando, fazendo e desfazendo. É preciso saber preservar a capacidade permanente de aprender, não o estoque de velharias que apenas entopem a vida( Pedro Demo. Ironias da Educação: mudancas e contos sobre mudanças. 2ed. Rio de Janeiro : DP&A, 2002).

Enquanto o processo de ensino for entendido como a relação entre o ser que sabe e, portanto, ensina( professor) e o outro que não sabe e, portanto aprende(aluno), a sala de aula, com a mesa do professor, lousa e carteiras tradicionais, não são suficientes para compor o ambiente escolar.Este ambiente deve ser interacional...sala, aluno, professor, lousa, carteiras e dialogos constantes...entre os seres(professores/alunos) e os objetos( sala de aprendizagem).

Estamos na era da Sociedade da Informação e Comunicação, o sentido de sala de aula é mais amplo. A Sala de aula é um espaço de aprendizagem...é um ambiente criado para o aprender...o professor no instante que entra neste ambiente ele passa a ser um construtor do pensamento...ele é responsável por criar situações motivadores para que o ambiente seja adequado em sua plenitude.

O "ambiente de aprendizagem" ou " espaço de aprendizagem" está fundamentado numa concepção holística ou integrada, que é a educação do ser humano em todas as suas dimensões. Nesse caso, o " ambiente de aprendizagem" é a conjunção de condições externas, internas, incluindo a totalidade de estratégias, metodologias e recursos colocados em disponibilidades para o individuo, além do clima relacional, que influenciam e favorecem o desenvolvimento do educando. Nesta nova era, a utilização de ferramentas computacionais como auxiliar ao ensino é de fundamental importância uma vez que os alunos sentem-se motivados para conhecer ambientes que estimulem o aprender...então o professor deverá estar antenado neste tempo, deverá ser alfabetizado tecnologicamente...

O ambiente de aprendizagem deve ser o jardim cujas as flores são regadas pelas gotas do pensamento mútuo do aprender, do conhecimento e do dialogo constante entre os pares...

Enfim, a retenção do conteúdo se dá à medida que as aulas sejam motivadoras com materiais significativos, isto é, a existência da relação entre o que é ensinado e a interação com o cotidiano do aluno.

A matemática que nos ensina...

A matemática que nos ensinam...

A matemática nos é ensinada como ciência pronta, imutável, criada por deuses em tempos imemoriais, algo definitivo, intocável, quase proibido. Essa abordagem tradicional e amplamente utilizada sobrecarrega nossa memória e esvazia nossos corações, torna a matemática árida, enfadonha e altamente impopular.

A matemática que aprendemos na escola está incompleta. Aprendemos a matemática dos resultados, das aplicações, dos engenheiros. Magicamente as fórmulas nos são dadas, e na seqüência um exercício modelo, e depois outro e outro, muito provavelmente bem parecidos. Quando nos falta a fórmula, procuramos em tabelas e livros, ou melhor, em nosso Oráculo moderno, o Google, afinal tudo o que havia para ser descoberto (ou inventado) na matemática já foi feito, não é mesmo?
Não estou dizendo que o ensino desta forma está errado, afinal é assim que o mundo vem caminhando, e bem, no avanço da técnica e da tecnologia. Só o considero incompleto e falacioso. Incompleto pois não há espaço para assuntos que ofendem nosso senso de utilidade. Falacioso pois distorce a maneira de como esta ciência foi criada e desenvolvida.

Arrisco a dizer que a matemática não trata do "útil". Mesmo quando algum resultado "útil" aflora dela, ele "sai" do domínio da matemática para encontrar lugar em outras searas, muitas vezes na engenharia, na física e não raro na economia e na biologia sem contar suas eventuais aventuras nas ciências sociais.

A ciência matemática é um produto cultural, resultado de uma longa evolução, e está em contínuo desenvolvimento.

A matemática é uma criação humana, por que nos parece tão distante, tão austera e enfadonha? Porque nos ensinam assim, suponho. Neste processo de limpeza, lapidação e esterilização usualmente realizado na matemática escrita e ensinada, perdemos a ligação com seu desenvolvimento e com as pessoas que a criaram, suas vaidades, invejas e ambições. É a falácia do ensino da matemática: A forma como nos ensinam matemática não reflete a forma como ela foi desenvolvida.

As tecnologias no ensino...a escola em tempos de mudança

Tecnologia é tudo que nos rodeia de forma diferente, isto é, a maneira com que visualizamos o mundo através de um prisma com cores distintas.
Um dos maiores exemplos de tecnologia que até hoje poucos sabem utilizar é o "retro-projetor", e nem por isto deixou de ser uma das opções para uso em sala de aula.
Outras formas de tecnologias para uso em sala de aula é : flip-chart, album seriado e tantos que se for fazer um rol não encerramos nunca. Porém, os nosso colegas, professores, gostam do ensino "bancário"( Paulo Freire contesta), e eles se acham o detentor da sabedoria esquecendo o outro lado, o aluno e sua autonomia.
Quando se iniciou no Brasil, as atividades do Instituto Universal Brasileiro (na década de 50), todos se admiraram e indagaram como vou estudar em casa? Ora o IUB, mandava via correio todo o material para a casa do aluno e este fazia, ou seja, colocava a mão na massa e aprendia, é tanto que tem muita gente que terminou Mecânica, Desenho e Eletrônica, nestes cursos a qual se chamava de Cursos por Correspondência, era a época o ensino a distância (sem acento...), e toda a metodologia estava centrava no aprender a aprender, no saber-fazer e na autonomia do aprendente.
Hoje nós temos tecnologias que dão estas oportunidades do aprendente transpor barreiras, e buscar em locais onde jamais pensou em ir, e no final agregar valor ao aprendizado.
Não digo auto-aprendizagem, mas a sua autonomia, de estar a vontade para buscar novos conhecimentos, desta forma a Escola tem que ultrapassar os muros e ver o mundo com outros olhos, buscar novos processos, efetuar a transposição didática. transformar seus aprendentes, em seres autônomos. Pois só assim, haverá motivações por parte do aprendente...
A aprendizagem por projeto, não é nova, buscamos ver no exemplo acima, a IUB, mandava o material e o aluno tinha de construir algo que funcionasse, exemplo no curso de Eletrônica, ele preparava todo o material e fazia as provas relativa a montagem do Rádio e só concluía quando o mesmo estava funcionando. Isto era um projeto... Isto era o Ensino por Projeto...
A escola tem que rever suas metodologias, rever seus conceitos e rever seu capital intelectual (professores)...e partir para uma nova forma de ensino...buscando através da aprendizagem significativa de seus aprendentes...
Paulo Freire não admite a separação entre ensino e aprendizagem e diz: "Não se entenderá essa capacidade de aprender se não se compreender a capacidade correspondente que é a de ensinar. É por isso que me espanta ainda a distância que ficamos de compreender a simultaneidade dialética entre ensinar e aprender".
Ele concorda com a autonomia do aluno perante o processo de aprendizagem, mas reforça que o ensino é parte integrante desse aprendizado, que segundo ele, é movido pela curiosidade. Paulo Freire propõe a Pedagogia da pergunta e não da resposta. Acredita que as novas tecnologias apresentam novos estímulos e desafios a essa curiosidade. Ele apela para os que escaparam da "morte da escola"que a modifiquem, façam dela um novo ser tão atual quanto a tecnologia. "Pôr a escola à altura do seu tempo não é soterrá-la, mas refazê-la".
Penso que o reencantamento da aprendizagem no ciberespaço é uma possibilidade nova e que estamos tentando realizá-la na prática. Ensinar e aprender na pós-modernidade estão exigindo mais flexibilidade espaço-temporal, pessoal e de grupo, não mais prazos fixos e processos mais abertos de comunicação.
Nesta composição de reencantar o aprender tanto aprendiz como ensinante se despem de não saberes e articulam um novo prisma educacional. Tem valor e tem sentido desde que haja mediação, interatividade, de forma dinâmica e contextualizada.
Penso que este é o fio condutor...

O professor de matemática atuando no ciberespaço, a forma dialética de ensinar e aprender na cibercultura.

No sistema educacional, a Matemática ocupa um lugar de destaque. “Ler, escrever e contar” forma a espinha dorsal de um sistema educacional que tem como fim oferecer oportunidades iguais para todos e, ao mesmo tempo, preparar o cidadão para intervir solidariamente na sociedade, de modo crítico e responsável. Nos atos do cotidiano e nas construções humanas, todos sofremos a influência da Matemática, pois cada um tem uma ferramenta a empregar, uma máquina a utilizar, um aparelho a pôr em funcionamento, sem falar dos arquitetos, engenheiros, agrimensores e outros para os quais o uso profissional da Matemática tem um caráter permanente. Quando se ouve falar que a Matemática pode ser um fator de contribuição para a formação de um cidadão pleno, não se faz referência a instrumentalização do homem somente para o trabalho, mas espera-se que a Matemática desenvolva a criatividade, a curiosidade e o pensamento lógico e crítico desse homem. As responsabilidades dos educadores vão além de reproduzir o passado e os modelos atuais. Deve haver a preocupação em construir um futuro que será diferente, mas melhor que o presente.
A Matemática vem se desenvolvendo ao longo da evolução humana e o professor precisa trabalhar este conhecimento, fornecendo subsídios aos alunos para enfrentarem os desafios da contemporaneidade. Hoje, é necessário que o professor complemente sua prática, tanto quanto aos conteúdos quanto à atualização de suas metodologias. O uso do computador, como ferramenta de auxílio, proporciona um novo ambiente de aprendizagem aos alunos, uma atmosfera própria para a construção do conhecimento e para o dialogo aberto com a comunidade ciberespacial.
O computador atualmente se fundamenta como instrumento indispensável a todos os setores da sociedade, proporcionando aos usuários ousadias nunca antes experimentadas. Neste novo ambiente educadores e educandos descobrem o mundo de maneira espontânea, sem as imposições da pedagogia tradicional. Os recursos computacionais contribuem para a construção de alunos críticos, investigadores e criativos, capazes de atribuir um leque de aplicações às programações desenvolvidas.
As tecnologias da informação e comunicação criam novas chances de reformular as relações entre alunos e professores e de rever a relação da escola com o meio social, ao diversificar os espaços de construção do conhecimento, ao revolucionar processos e metodologias de aprendizagem, permitindo à escola a um novo diálogo com os indivíduos e com o mundo.
Neste contexto, é fundamental colocar o conhecimento à disposição de um número cada vez maior de pessoas e para isso é preciso dispor de ambientes de aprendizagem em que as novas tecnologias sejam ferramentas instigadoras, capazes de colaborar para uma reflexão crítica, para o desenvolvimento da pesquisa, sendo facilitadoras da aprendizagem de forma permanente e autônoma.
Educar neste contexto será, portanto, desenvolver processos abrangentes, segundo critérios como consistência, previsibilidade, motivação, envolvimento, performance, capacidade de articular conhecimentos, de comunicar-se e estabelecer relações. Isso ajudará a preparar o cidadão da era do ciberespaço: como a matéria-prima da produção será a informação, e os conteúdos da formação inicial se tornarão rapidamente obsoletos, ele deverá ser um profissional capaz de aprender sempre; um ser consciente e crítico, que dialogue com as diferentes culturas e os diversos saberes, que saiba trabalhar de forma cooperativa e que seja flexível, empreendedor e criativo para administrar sua carreira e sua vida pessoal, social e política.

Os pontos que formam a vida...os corpos em simetria...pensam no amor matemático

Pontos que formam...

No mundo
cartesiano o ponto
faz o plano
a vida
faz a vida
um plano
para o amor...
o ponto é formado
ponto é deformado
plano é formado
pelos pontos deformados
vida e o amor são formados
pelos deformados pontos
que formam em único ponto
no plano formado pelos pontos da vida e do amor...
(Roberto Capistrano)