A Álgebra Linear na Graduação

Álgebra Linear é um segmento da Matemática que teve sua origem na discussão de Sistemas Lineares Algébricos e Diferenciais. Como tópicos principais abordados em graduação, citamos os espaços vetoriais (morada de vetores) e suas propriedades, as transformações lineares entre espaços vetoriais com destaque para os operadores (transformações lineares de um espaço nele mesmo), além dos autovalores e auto vetores bem como a diagonalização de operadores. Na sequência, escrevemos os resultados principais: O Espaço ℝⁿ, Combinação linear e independência linear entre vetores, bases, ortogonalidade no ℝⁿ, bases ortogonais e o algoritmo de GRAM-SCHMIDT, transformações lineares e suas propriedades, coordenadas e mudança de base, autovalores e auto vetores, diagonalização de operadores e equações diferenciais ordinárias lineares.

Quanto sua aplicação, além da forte contribuição para a solução exata de equações diferenciais ordinárias lineares e em processos aleatórios (Cadeias de Markov), temos também sua presença na Física, em Ótica e Mecânica Quântica, na Engenharia no estudo de vibrações e em Dinâmica de corpos rígidos ligados a problema de rotação e translação, fazendo-se também presente no problema de temperatura em estado estacionário em uma placa fina com faces isoladas. Para encerrar lembramos também a Criptografia, Computação gráfica e o modelo presa-predador como usuários da Álgebra Linear. Mais detalhes podem ser vistos em LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS; GILBERT STRANG; ACADEMIC PRESS. 1980 

Dialogo no ciberespaço : O que é uma Boa Aula em Matemática?

Roberto Capistrano

É comum ouvir dos alunos referirem-se a seus professores com base nas formas e características de seu trabalho em sala de aula, como "ele dá uma boa aula, "sua aula é cansativa" , entre outras...
"Boa aula" é um juízo de valor que se constrói com base em diferentes concepções de Educação, no interior de distintas situações histórico-sociais, e com base nos vários níveis e nas diferentes modalidades de ensino.
Aula pode ser compreendida como a unidade de medida do tempo, como espaço de atividade , como forma de trabalho em Educação?
Como deve entendida a AULA? E na Educação a distância(EaD) como caracterizar a "aula" ? ou uma "boa aula" ?
É possível analisar a situação de ensino-aprendizagem realizada entre professor e alunos, entendida como aula, com base em um conjunto multidimensional de relações.

Vejam alguns diálogos acerca de uma boa aula, no site de relacionamento "facebook", em que mediei e instiguei o assunto :

D1. aquela onde o professor apresenta suas duvidas a respeito da matéria, explica o contexto em que ela surgiu, e pede soluções para os alunos.

D2. Uma boa aula é aquela em que o professor instigue seus alunos a buscar o conhecimento, e não só os passe enquanto a turma copia, o professor precisa incentivar seus alunos a pensarem e construir conceitos , definições e provas em conjunto com a sala.

D3(Capistrano). Tendo em conta o teu pensamento como podemos caracterizar a "aula"?
Criatividade do professor, discurso afinado com o pensamento atual(idéias, fatos,significados) ? Ou,
A forma motivadora da "boa aula" é não transformá-la em algo divertido...mas sim, é transformá-la em algo significativo...levando o educando( aluno) a querer aprender a aprender...será que este é o nosso desafio na atualidade? Ou ,
Devemos levar em conta um pensamento freiriano de que : os alunos chegam à escola já com determinados conhecimentos...identificá-los e usá-los para melhorar o seu aprendizado e também a aula...podemos dizer que os alunos têm conhecimentos prévios( segundo David Ausubel - psicólogo cognitivista) ?
A aula é um espaço de construção e reconstrução do aprender...as vezes digo que é um espaço de desconstruir preconceitos, falácias e mitos...
Será que a "aula" é uma unidade de medida de tempo ou a "aula" é um espaço de atividades ou a "aula" é um critério de avaliação do desempenho docente...afinal o que seria uma "aula" ?

D4. Acho que se aprende matemática de "dentro pra fora". Quero dizer contemplar uma aula muitas vezes não é suficiente para o aprendizado. Às vezes você até entende algumas idéias mas só quando tenta aplicar que surgem as duvidas, que são fundamentais para o aprendizado: só errando você passa a valorizar e perceber detalhes anteriormente despercebidos.

D5(Capistrano). Neste ambiente, nasce um espaço para o fazer pedagógico em matemática, na medida em que passamos a discutir o que é uma "boa aula", assim, nos vem a idéia de que o professor tem de optar pela melhor maneira de ensinar determinado conteúdo, visualizando a realidade que o rodeia e as especificidades que lhes apresentam...Antes de tudo uma prática docente deve ser repleta de idéias, reflexões, leituras e discussões...Não adianta querer sempre ensinar, porém, mais que ensinar querer que aprendam e se interessem pelo que vão aprender, para que esse conhecimento seja significativo...No processo ensino e aprendizagem gera um vínculo entre quem ensina e o aprendiz...Por exemplo, se alguém me pára na rua e me pergunta onde fica determinado endereço, e eu sei explicar, já se criou uma relação entre ensinar e aprender...Vou ter que usar uma expressão verbal e corporal clara e direta, a fim de não confundir o aprendiz e fazê-lo interessar-se por esse processo, aprendendo o que deseja saber.Na relação ensino-aprendizagem, há dinâmica, interação, diálogo, e propicia-se a troca de conhecimentos nos âmbitos cognitivo, afetivo e motor entre todos os participantes desse processo...Na escola não é diferente, apresenta as mesmas características: gera vínculo, é interativa, é dialógica e propicia a troca...Porém, existe uma diferença marcante : não há apenas um aprendiz nesse processo, mas um grupo,no mínimo com características individuais, em que cada um aprende de diferentes maneiras e em tempos diferentes...Então, nossa prática docente passa pela formação, competências, habilidades e saberes...para que possamos construir uma "boa aula"...
Vamos lá... Seria possível na educação atual estarmos preparados para um ministrar uma "boa aula"?

D6. Ora,quando há interação, diálogo e saberes do professor não há como o professor ser impopular... Mesmo alguns alunos achando ele é ruim... Mas no final eles colherão os frutos da arvore do saber e irão dividi-los de forma a compartilhar conhecimentos... Lembrando que saberes não se come se compartilha...
O diálogo é a força propulsora de uma "boa aula", a interação é o combustível para que ela seja significativa e os saberes é mecânica para fazer este movimento...sem estes pilares não há uma "boa aula"...
Vamos continuar com este diálogo no ciberespaço... Visualizando o ensino de matemática nas proporções da construção dos saberes..

Utilize este ambiente para dialogarmos sobre o que é uma “BOA AULA EM MATEMÁTICA”

Aula 2 : Lógica Matemática - Cálculo Proposicional : Operações Lógicas sobre proposições,

Aula 2 : Lógica Matemática - Cálculo Proposicional : Operações Lógicas sobre proposições.

Dicas de Lógica Matemática

Lógica das Proposições ou Lógica Proposicional

A Lógica Formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. Além disso, a Lógica Formal tem aplicações diretas em diversas áreas do conhecimento.

Existem vários tipos de Lógica Formal, sendo duas especialmente importantes:
• Lógica Proposicional (Cálculo Proposicional)
• Lógica de Predicados (Lógica de Primeira Ordem)

A codificação em Lógica permite a remoção de ambiguidades inerentes às Linguagens Naturais( No nosso caso a linguagem natural é a língua portuguesa ou linguagem coloquial) .

A língua portuguesa, assim como outras línguas, é formada por palavras e sentenças, numa teia sutil e complexa. Expressar-se com clareza e precisão não é uma tarefa fácil.

Mapeamento : Linguagem Natural/ Lógica das Proposições.

Aula 1 : Lógica Matemática - Introdução aos Cálculos das Proposições

Aula 1 -  Lógica Matemática - Introdução aos Cálculos das Proposições

Matemática como uma construção Humana

A matemática está presente tanto nas situações comuns do cotidiano e do mundo do trabalho quanto nas mais complexas, que exigem conhecimento especializado, por ser um instrumento de produção e de comunicação de conhecimentos nas mais diferentes áreas, razão por que é tão importante na atualidade e considerada como uma peça-chave para a preparação profissional.

O mundo do século XXI é um mundo banhado em números. Manchetes usam medidas quantitativas para noticiar aumentos no preço da gasolina, riscos de morrer de câncer no cólon, e números de refugiados na mais recente guerra étnica. Anúncios usam números para competir no preço de contratos de telefones celulares e nos empréstimos de juros baixos para automóveis. Notícias de esportes abundam em estatísticas dos times e nas chances nas próximas competições.

Se você olhar com atenção verá que as notícias e as informações que atualmente recebemos pelos meios de comunicação estão cheias de idéias e símbolos matemáticos que precisamos ler e interpretar.

Ler, escrever e calcular são operações de raciocínio muito importantes para todos nós. Elas permitem que a aventura humana e as incertezas que a envolvem sejam compreendidas em sua complexidade, preparando-nos, quando praticadas conscientemente, para enfrentar problemas e buscar alternativas para superá-los.

Você já deve ter observado que a Matemática se utiliza de registros, códigos, símbolos. Enfim, que ela tem uma linguagem própria. Mas o que é importante é que essa linguagem é universal. Praticamente, é utilizada em todos os recantos do mundo, favorecendo a comunicação entre os povos.

Os números que conhecemos e costumamos usar, os cálculos escritos ou de cabeça que fazemos diariamente, as formas geométricas que podem ser observadas nos prédios, arvores , pontes ou embalagens, os gráficos, tabelas, entre muitas outras coisas, são parte da criação humana. Todas elas são partes da Matemática.

Faça observações no ambiente em que vive e registre as situações em que você reconhece a presença da Matemática : as primeiras pistas são dadas pela natureza.

A idéia é que o conhecimento matemático, assim como muitos outros, seja um instrumento utilizado para propor e melhorar as condições de vida da humanidade e contribuir para intervir na realidade, promovendo o desenvolvimento humano.

“Eu falo como eu vejo. Eu acho que no momento em que você traduz a naturalidade da matemática como uma condição de estar no mundo, você trabalha contra um certo elitismo com que os estudos matemáticos, mesmo contra a vontade de alguns matemáticos, tem. Quer dizer, você democratiza a possibilidade da naturalidade da matemática, e isso é cidadania”.(Paulo Freire)

Origens da Matemática

A palavra "Matemática" tem origem na palavra grega "máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí "mathematikós", que significa o prazer de aprender.

É comum definir a Matemática como o estudo de tópicos como quantidades, formas, espaço e mudança, através do método dedutivo, no qual se pressupõe um conjunto de axiomas e regras de inferência como forma de obter propriedades das entidades em estudo.

Sendo uma linguagem universal, a Matemática oferece-nos um conjunto singular de ferramentas poderosas para compreender e mudar o mundo. Estas ferramentas incluem o raciocínio lógico, técnicas de resolução de problemas, e a capacidade de pensar em termos abstratos.

Podemos assim dizer que a Matemática é uma construção abstratas em que as suas noções fundamentais têm origem na percepção humana. Desde a noção de número às noções geométricas, estabeleceu-se desde muito cedo a independência da noção abstrata face à sua utilização prática. As idéias matemáticas passaram a ter uma existência própria e a universalidade da sua manipulação formal mostrou rapidamente vantagens.

Uma particularidade da Matemática reside na possibilidade de tratar as próprias noções como objeto de estudo, conferindo-lhe um caráter ainda mais abstrato. A tentativa de obter os vários resultados matemáticos numa dedução lógica, partindo de um reduzido número de idéias fundamentais, originou a estrutura axiomática que a caracteriza. A primeira iniciativa desta natureza foi concretizada pelos gregos, por exemplo, no tratado "Elementos", de Euclides, onde se propõe a axiomatização da geometria (séc. III AC).

Nas sociedades antigas, a Matemática surgiu associada a atividades práticas como a contabilidade, a medição de terrenos ou a previsão de eventos astronômicos. Ao longo da História, diferentes culturas e personalidades contribuíram para o desenvolvimento da Matemática e das suas aplicações. Após o Renascimento, a Matemática tornou-se a linguagem de referência de qualquer Ciência.

Hoje, o conhecimento assim adquirido transcende as barreiras culturais e a sua importância em muitas profissões e aditividades é universalmente aceite. Em áreas como a Ciência e a Tecnologia, a Medicina, a Economia, o Ambiente e o Desenvolvimento, e a Administração Pública, o progresso e a inovação dependem frequentemente de novas descobertas matemáticas.

A Comunidade Matemática, formada por Professores e Investigadores é hoje maior que em qualquer outro momento da História e o seu impacto na Sociedade é cada vez maior, através de aditividades Científicas organizadas à escala mundial, de inúmeras publicações em revistas especializadas, e de atividades de divulgação. Testemunho disto são os importantes prêmios atribuídos à investigação matemática, como as medalhas Fields, ou os problemas do milênio.

Palavras chaves no ensino de Matemática

Axiomas

Princípio ou regras que não são demonstradas e que disciplinam a utilização dos conceitos primitivos e estabelecem suas propriedades.

Conceito primitivo

Conceito que não é definido, como pro exemplo o de número e o de ponto.

Corolário

Proposiçõa que é uma consequência de um teorema.

Corpo

Um conjunto numérico é um corpo, com relação a duas oérações "+" e " . ", quando : + é comutativa, associativa, tem elemento neutor 0 e todo leemento neutro x do conjunto tem o seu oposto ( - x ), no conjunto tal que x + ( - x ) = 0 ; " . " é comutativa, associativa, tem elemento neutro 1 e todo elemento x , não nulo, no conjunto tem o seu inverso ( x -¹ ), tal que x.x -¹ = 1, e ". " é distribuitiva em relação a " + ".

Os conjuntos dos Racionais, dos Reais e dos Complexos são corpos com relação à adição e à multiplicação.

Demonstração

Sucessão de argumentos restritos às regras da lógica mostrando que determinada afirmação é necessáriamente verdadeira quando se assimem certos elementos primitivos e certos axiomas.

Lema

Proposição auxiliar na demostração de um teorema, que também precisa ser demonstrada.

Operação

Uma operação * num conjunto A é uma relação de um subconjunto do produto cartesiano AxA em A, tal que, a cada par ordenado deste subconjunto (x,y) associa um único elemento de A, x*y.

Uma operação é fechada se para todos os possíveis pares (x,y) de AxA sempre existe um corresponde x*y também em A.

Por exemplo, a adição é uma operação fechada no conjunto dos naturais pois a cada par de números (x,y) associa um único correspondente (x+y) que também é natural.
A subtração não é fechada no naturais porque só existe correspondente, também natural, para os pares ordenados (x,y) com a propriedade x > y.

Postulado

Princípios ou regras que não são demonstrados e que disciplinam a utilização dos conceitos primitivos e estabelecem suas propriedades.

Teorema
Proposições matemáticas que são demonstradas, com base nos conceitos primitivos, nos axiomas, nas definições e em outros teoremas já demonstrados.

Dialógos no ciberespaço : O que é uma boa aula de Matemática ?

O que é uma Boa Aula em Matemática?
Roberto Capistrano

É comum ouvir dos alunos referirem-se a seus professores com base nas formas e características de seu trabalho em sala de aula, como "ele dá uma boa aula, "sua aula é cansativa" , entre outras...
"Boa aula" é um juízo de valor que se constrói com base em diferentes concepções de Educação, no interior de distintas situações histórico-sociais, e com base nos vários níveis e nas diferentes modalidades de ensino.
Aula pode ser compreendida como a unidade de medida do tempo, como espaço de atividade , como forma de trabalho em Educação?
Como deve entendida a AULA? E na Educação a distância(EaD) como caracterizar a "aula" ? ou uma "boa aula" ?
É possível analisar a situação de ensino-aprendizagem realizada entre professor e alunos, entendida como aula, com base em um conjunto multidimensional de relações.

Vejam alguns diálogos acerca de uma boa aula, no site de relacionamento orkut, em que mediei e instiguei o assunto :

D1. aquela onde o professor apresenta suas duvidas a respeito da matéria, explica o contexto em que ela surgiu, e pede soluções para os alunos.

D2. Uma boa aula é aquela em que o professor instigue seus alunos a buscar o conhecimento, e não só os passe enquanto a turma copie, o professor precisa incentivar seus alunos a pensarem e construir conceitos , definições e provas em conjunto com a sala.

D3(Capistrano). Tendo em conta o teu pensamento como podemos caracterizar a "aula"?
Criatividade do professor, discurso afinado com o pensamento atual(idéias, fatos,significados) ? Ou,
A forma motivadora da "boa aula" é não transformá-la em algo divertido...mas sim, é transformá-la em algo significativo...levando o educando( aluno) a querer aprender a aprender...será que este é o nosso desafio na atualidade? Ou ,
Devemos levar em conta um pensamento freiriano de que : os alunos chegam à escola já com determinados conhecimentos...identificá-los e usá-los para melhorar o seu aprendizado e também a aula...podemos dizer que os alunos têm conhecimentos prévios( segundo David Ausubel - psicólogo cognitivista) ?
A aula é um espaço de construção e reconstrução do aprender...as vezes digo que é um espaço de desconstruir preconceitos, falácias e mitos...
Será que a "aula" é uma unidade de medida de tempo ou a "aula" é um espaço de atividades ou a "aula" é um critério de avaliação do desempenho docente...afinal o que seria uma "aula" ?

D4. Acho que se aprende matemática de "dentro pra fora". Quero dizer contemplar uma aula muitas vezes não é suficiente para o aprendizado. Às vezes você até entende algumas idéias mas só quando tenta aplicar que surgem as duvidas, que são fundamentais para o aprendizado: só errando você passa a valorizar e perceber detalhes anteriormente despercebidos.

D5(Capistrano). Neste ambiente, nasce um espaço para o fazer pedagógico em matemática, na medida em que passamos a discutir o que é uma "boa aula", assim, nos vem a idéia de que o professor tem de optar pela melhor maneira de ensinar determinado conteúdo, visualizando a realidade que o rodeia e as especificidades que lhes apresentam...Antes de tudo uma prática docente deve ser repleta de idéias, reflexões, leituras e discussões...Não adianta querer sempre ensinar, porém, mais que ensinar querer que aprendam e se interessem pelo que vão aprender, para que esse conhecimento seja significativo...No processo ensino e aprendizagem gera um vínculo entre quem ensina e o aprendiz...Por exemplo, se alguém me pára na rua e me pergunta onde fica determinado endereço, e eu sei explicar, já se criou uma relação entre ensinar e aprender...Vou ter que usar uma expressão verbal e corporal clara e direta, a fim de não confundir o aprendiz e fazê-lo interessar-se por esse processo, aprendendo o que deseja saber.Na relação ensino-aprendizagem, há dinâmica, interação, diálogo, e propicia-se a troca de conhecimentos nos âmbitos cognitivo, afetivo e motor entre todos os participantes desse processo...Na escola não é diferente, apresenta as mesmas características: gera vínculo, é interativa, é dialógica e propicia a troca...Porém, existe uma diferença marcante : não há apenas um aprendiz nesse processo, mas um grupo,no mínimo com características individuais, em que cada um aprende de diferentes maneiras e em tempos diferentes...Então, nossa prática docente passa pela formação, competências, habilidades e saberes...para que possamos construir uma "boa aula"...
Vamos lá... Seria possível na educação atual estarmos preparados para um ministrar uma "boa aula"?

D6. Ora,quando há interação, diálogo e saberes do professor não há como o professor ser impopular... Mesmo alguns alunos achando ele é ruim... Mas no final eles colherão os frutos da arvore do saber e irão dividi-los de forma a compartilhar conhecimentos... Lembrando que saberes não se come se compartilha...
O diálogo é a força propulsora de uma "boa aula", a interação é o combustível para que ela seja significativa e os saberes é mecânica para fazer este movimento...sem estes pilares não há uma "boa aula"...
Vamos continuar com este diálogo no ciberespaço... Visualizando o ensino de matemática nas proporções da construção dos saberes..

Utilize este ambiente para dialogarmos sobre o que é uma “BOA AULA EM MATEMÁTICA”

Matemática e poesia : uma visão construtivista

Geometria dos Corpos

A menor distância

entre dois pontos

está na conjunção

de nossos corpos

que se atraem na razão inversa

da razão e do verso...

O verso e a razão

o inverso do reverso

o ponto no coração

o ponto nas tuas mãos

é o ponto na conjunção

é o corpo e a paixão.

(Roberto Capistrano)

Referência :
CAPISTRANO, Roberto de Almeida et all. Antologia dos Poetas Vrtuais 1° Livro.Org. Magali Oliveira. Fortaleza : Premius, 2007.